Question

9．已知直线l：y=kx+m（m为常数）和双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}$=1恒有两个公共点，则斜率k的取值范围为（-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 法一、由题意画出图形，求出双曲线的渐近线方程，结合对任意实数m，直线l：y=kx+m（m为常数）和双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}$=1恒有两个公共点即可得到k的取值范围；
法二、联立直线方程和双曲线方程，由二次项系数不为0，且判别式大于0恒成立即可求得k的范围．

解答 解：法一、由双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}$=1，得a²=9，b²=4，∴a=3，b=2．
∴双曲线的渐近线方程为y=$±\frac{2}{3}x$，
如图，

∵直线l：y=kx+m（m为常数）和双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}$=1恒有两个公共点，
∴$-\frac{2}{3}$＜k＜$\frac{2}{3}$．
法二、联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（4-9k²）x²-18kmx-9m²-36=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-9{k}^{2}≠0}\\{△=324{k}^{2}{m}^{2}+（16-36{k}^{2}）（9{m}^{2}+36）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k≠±\frac{2}{3}}\\{3{6}^{2}•{k}^{2}＜144{m}^{2}+16×36}\end{array}\right.$，∴$-\frac{2}{3}＜k＜\frac{2}{3}$．
故答案为：（-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．