Question

2．已知数列{a_n}的前n项和${S_n}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$，令b_n=log₉a_n+1．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}的前n项和为T_n，数列$\{\frac{1}{T_n}\}$的前n项和为H_n，求H₂₀₁₇．

Answer 1

分析 （1）由数列的前n项和求出数列通项公式，代入b_n=log₉a_n+1，利用对数的运算性质求得数列{b_n}的通项公式；
（2）求出数列{b_n}的前n项和为T_n，利用裂项相消法求得数列$\{\frac{1}{T_n}\}$的前n项和为H_n，则H₂₀₁₇可求．

解答 解：（1）当n=1时，${a}_{1}={S}_{1}=\frac{3-1}{2}=1$；
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{{3}^{n}-1-{3}^{n-1}+1}{2}={3}^{n-1}$．
a₁=1适合上式，
∴${a}_{n}={3}^{n-1}$．
则b_n=log₉a_n+1=$lo{g}_{9}{3}^{n}=\frac{n}{2}$，即数列{b_n}的通项公式${b}_{n}=\frac{n}{2}$；
（2）由${b}_{n}=\frac{n}{2}$，得${T}_{n}=\frac{1}{2}（1+2+3+…+n）=\frac{n（n+1）}{4}$．
则$\frac{1}{{T}_{n}}=\frac{4}{n（n+1）}=4（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
于是${H}_{n}=4（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$4（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{4n}{n+1}$，
则${H}_{2017}=\frac{4×2017}{2018}=\frac{4034}{1009}$．

点评 本题考查数列递推式，训练了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了利用裂项相消法求数列的和，是中档题．