Question

15．已知函数f（x）为二次函数且f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x
（1）求f（x）的解析式．（2）当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时求f （2^x）的最大与最小值．
（3）判断函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上的单调性并加以证明．（可用导数证明）

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，可设f（x）=ax²+bx+c，从而可求出f（x+1）和f（x-1），代入f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x，即可建立关于a，b，c的方程组，并解出a=1，b=-2，c=-1；
（2）可令2^x=t，并求得$t∈[\sqrt{2}，4]$，从而得到y=t²-2t-1，配方便可求出y的最大、最小值，即求出f（2^x）的最大与最小值；
（3）先求出g（x），然后求导，根据导数符号即可判断g（x）的单调性．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，
则f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+（2a+b）x+（a+b+c），
f（x-1）=ax²+（b-2a）x+（a-b+c）；
∴f（x+1）+f（x-1）=2ax²+2bx+2（a+c）；
∴2ax²+2bx+2（a+c）=2x²-4x；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{2b=-4}\\{2（a+c）=0}\end{array}\right.$；
解得a=1，b=-2，c=-1；
∴f（x）=x²-2x-1；
（2）令${2}^{x}=t，t∈[\sqrt{2}，4]$，y=f（2^x）；
∴y=t²-2t-1=（t-1）²-2，$t∈[\sqrt{2}，4]$；
∴t=4时，y_max=7，t=1时，y_min=-2；
即f（2^x）最大值为7，最小值为-2；
（3）$\frac{f（x）}{x}=\frac{{x}^{2}-2x-1}{x}$；
∴$g（x）=\frac{{x}^{2}-2x-1}{x}$，$g′（x）=\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}}＞0$；
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增．

点评 考查二次函数的一般形式，待定系数法求函数的解析式，换元法求函数最值，配方法求二次函数的最值，根据导数符号判断函数单调性的方法．