Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．

（1）证明PA∥平面BDE；
（2）证明：DE⊥面PBC；
（3）求直线AB与平面PBC所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO，

由O，E分别为AC，CP中点，

∴OE∥PA

又OE平面EDB，PA平面EDB，

∴PA∥平面EDB

（2）证明：由PD⊥平面ABCD∴PD⊥BC又CD⊥BC，

∴BC⊥平面PCD，DE⊥BC．

由PD=DC，E为P中点，故DE⊥PC．

∴DE⊥平面PBC

（3）解：将几何体放到正方体中，则可得直线AB与平面PBC所成角的大小为45°
【解析】（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO，易证EO为△PAC的中位线，从而OE∥PA，再利用线面平行的判断定理即可证得PA∥平面BDE；（2）依题意，易证DE⊥底面PBC，再利用面面垂直的判断定理即可证得平面BDE⊥平面PBC；（3）将几何体放到正方体中，则可得直线AB与平面PBC所成角的大小．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．