Question

已知函数f（x）=

x2+mx-1 0 -x2+2x+1

-2＜x＜0 x=0 0＜x＜2

是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义即可得出；
（2）利用函数的单调性并结合图象即可得出；
（3）利用函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）当0＜x＜2时，-2＜-x＜0．
∵f（x）是奇函数．
∴f（-x）=-f（x），
∴（-x）²-mx-1=-（-x²+2x+1），
∴m=2．
（2）由（1）得f（x）=

x2+2x-1，-2＜x＜0 0，x=0 -x2+2x+1，0＜x＜2

由图象得

a-2＞-1 a-2≤1

解得1＜a≤3．
（3）当-2＜x＜0时，f（x）=（x+1）²-2∈[-2，-1），
当x=0时，f（x）=0．
当0＜x＜2时，f（x）=-（x-1）²+2∈（1，2]．
∴f（x）的值域为[-2，-1）∪{0}∪（1，2]．

点评：熟练掌握函数的奇偶性和单调性是解题的关键．