Question

【题目】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，平面BB1C1C⊥平面ABC，BC1＝C1C．

（1）求证：A1B⊥平面AB1C1；

（2）求二面角A1﹣AC1﹣B1的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）．

【解析】

（1）设直线AB1与直线BA1交于点G，连结C1G，推导出A1B⊥AB1，C1G⊥A1B，由此能证明A1B⊥平面AB1C1．

（2）取BC中点O为坐标原点，分别以OA，OC，OC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A1﹣AC1﹣B1的余弦值．

（1）证明：设直线AB1与直线BA1交于点G，连结C1G，

∵四边形ABB1A1是菱形，∴A1B⊥AB1，

∵BC1＝C1C＝C1A1，G为A1B的中点，∴C1G⊥A1B，

∵AB1∩C1G＝G，∴A1B⊥平面AB1C1．

（2）解：取BC中点O为坐标原点，如图，分别以OA，OC，OC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系：

设棱柱的棱长为2，则C（0，1，0），C1（0，0，），A（，0，0），B（0，﹣1，0），

（，0，），（，1，0），（0，2，0），

设平面A1AC1的一个法向量（x，y，z），

则，取x＝1，得（1，，1），

设平面AB1C1的一个法向量为（a，b，c），

则，取x＝1，得（1，0，1），

设二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角为θ，

则cosθ．

∴二面角A1﹣AC1﹣B1的余弦值为．