Question

2．设函数f（x）=lg$\frac{2x}{ax+b}$，f（1）=0，且x＞0时恒有f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=lgx成立，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 当x＞0时，恒有f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=lgx，可以构造一个关于a，b方程组，解方程组求出a，b值．

解答 ∵当x＞0时，有f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=lgx恒成立
∴lg$\frac{2x}{ax+b}$-lg$\frac{\frac{2}{x}}{\frac{a}{x}+b}$=lgx，
即lg$\frac{2x}{ax+b}$-lg$\frac{2}{a+bx}$=lgx，
即lg（$\frac{2x}{ax+b}$$•\frac{a+bx}{2}$）=lgx，
$\frac{（a+bx）x}{ax+b}$=x．
整理得（a-b）x²-（a-b）x=0恒成立，
∴a=b，
又f（1）=0，
即a+b=2，从而a=b=1．

点评 本题主要考查对数的基本运算，根据条件建立方程组是解决本题的关键．