Question

【题目】已知函数f（x）=alnx+x2﹣x，其中a∈R．
（Ⅰ）若a＞0，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）= +2x﹣1= ，（x＞0），
令g（x）=2x2﹣x+a=2 +a﹣ ，（x＞0），
a≥ 时，g（x）≥0，即f′（x）≥0，
f（x）在（0，+∞）递增，
0＜a＜ 时，令g′（x）＞0，解得：x＞ 或0＜x＜ ，
令g′（x）＜0，解得： ＜x＜ ，
故f（x）在（0， ）递增，在（ ， ）递减，
在（ ，+∞）递增；
（Ⅱ）x=1时，显然成立，
x＞1时，问题转化为a≥ 在（1，+∞）恒成立，
令h（x）= ，则h′（x）= ，
令m（x）=（﹣2x+1）lnx+x﹣1，（x＞1），
则m′（x）=﹣2lnx+ ＜0，
故m（x）＜m（1）=0，
故h′（x）在（1，+∞）递减，
而 = =﹣1，
故a≥﹣1
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，问题转化为a≥ 在（1，+∞）恒成立，令h（x）= ，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．