Question

【题目】已知函数在区间上的最大值为，最小值为，记，；

（1）求实数、的值；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数的范围；

（3）对于定义在上的函数，设，，用任意将划分成个小区间，其中，若存在一个常数，使得不等式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数，试证明函数是在上的有界变差函数，并求出的最小值；

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析，；

【解析】

（1）由已知在区间上的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，易构造关于的方程组，解得的值。

（2）求出，对任意恒成立等价于恒成立，求实数的范围。

（3）根据有界变差函数的定义，我们先将区间进行划分，进而判断是否恒成立，进而得到结论。

（1）因为，因为，对称轴

所以在区间上是增函数，

又函数在区间上的最大值为，最小值为

所以

解得：

所以

故实数

（2）由（1）可知

因为，所以

因为对任意恒成立，

令

根据二次函数的图像和性质可得：

则

令，则

解得：

即

所以

（3）函数为上的有界变差函数，又为上的单增函数，

且对任意划分

有

所以

所以存在常数M使得恒成立，即