Question

9．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$及点B（0，a），过B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF=（　　）

• A． 60°
• B． 90°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 由题意画出图形，设出过B的直线方程为y=kx+a，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0求得k，进一步得到直线方程，求出A的坐标，然后利用余弦定理求得∠ABF．

解答 解：如图，
设过B的直线方程为y=kx+a，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+a}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（a²k²+b²）x²+2a³kx+a⁴-a²b²=0．
由△=4a⁶k²-4（a²k²+b²）（a⁴-a²b²）=0，得$k=±\frac{c}{a}$．
由题意取k=$\frac{c}{a}$，则直线方程为y=$\frac{c}{a}x+a$，取y=0，得x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$．
∴A（$-\frac{{a}^{2}}{c}，0$），
在△ABF中，${AB}^{2}={a}^{2}+\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}=\frac{{a}^{2}{c}^{2}+{a}^{4}}{{c}^{2}}$，BF²=a²+c²，
$A{F}^{2}=（c+\frac{{a}^{2}}{c}）^{2}=\frac{{c}^{4}+2{a}^{2}{c}^{2}+{a}^{4}}{{c}^{2}}$，
∴cos∠ABF=$\frac{A{B}^{2}+B{F}^{2}-A{F}^{2}}{2•\frac{a}{c}•\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}•\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{\frac{{a}^{2}{c}^{2}+{a}^{4}}{{c}^{2}}+{a}^{2}+{c}^{2}-\frac{{c}^{4}+2{a}^{2}{c}^{2}+{a}^{4}}{{c}^{2}}}{\frac{2{a}^{3}+2a{c}^{2}}{c}}$=0．
∴∠ABF=90°．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查余弦定理的应用，是中档题．