Question

19．已知双曲线的中心在坐标原点，如果左焦点F与右顶点A以及虚轴上顶点B构成直角三角形，则其离心率为$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$，称此双曲线为“黄金双曲线”．类比“黄金双曲线”可推知“黄金椭圆”的离心率为$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得，FA²=FB²+BA²，把该式转化为关于a，b，c的方程，然后利用a²=b²+c²消掉b，两边再同除以a²可得e的二次方程，解出即可．

解答 解：由题意可得，FA²=FB²+BA²，即（a+c）²=a²+a²+b²，即（a+c）²=2a²+a²-c²，
整理得，a²=c²+ac，两边同除以a²，得1=e²+e，解得e=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质、基本量的求解，属基础题，正确理解新定义是关键．