Question

7．定义：在平面内，点P到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P到曲线Γ的距离．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：${（{x-\sqrt{2}}）^2}+{y^2}=12$及点$A（{-\sqrt{2}，0}）$，动点P到圆M的距离与到A点的距离相等，记P点的轨迹为曲线W．
（Ⅰ）求曲线W的方程；
（Ⅱ）过原点的直线l（l不与坐标轴重合）与曲线W交于不同的两点C，D，点E在曲线W上，且CE⊥CD，直线DE与x轴交于点F，设直线DE，CF的斜率分别为k₁，k₂，求$\frac{k_1}{k_2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判断P点的轨迹为以A、M为焦点的椭圆，设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，求出a，b，即可求解曲线W的方程．
（Ⅱ）设C（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），E（x₂，y₂），则D（-x₁，-y₁），则直线CD的斜率为${k_{CD}}=\frac{y_1}{x_1}$，利用CE⊥CD，求出直线CE的斜率是${k_{CE}}=-\frac{x_1}{y_1}$，设直线CE的方程为y=kx+m，联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{3}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$通过韦达定理，求出直线DE的方程为$y+{y_1}=\frac{y_1}{{3{x_1}}}（x+{x_1}）$，顶点F（2x₁，0）．可得${k_2}=-\frac{y_1}{x_1}$，然后推出斜率比值．

解答 解：（Ⅰ）由题意知：点P在圆内且不为圆心，圆M：${（{x-\sqrt{2}}）^2}+{y^2}=12$及点$A（{-\sqrt{2}，0}）$，动点P到圆M的距离与到A点的距离相等，故$|{PA}|+|{PM}|=2\sqrt{3}＞2\sqrt{2}=|{AM}|$，
所以P点的轨迹为以A、M为焦点的椭圆，（2分）
设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，则$\left\{\begin{array}{l}2a=2\sqrt{3}\\ 2c=2\sqrt{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{3}\\ c=\sqrt{2}\end{array}\right.$，
所以b²=1，故曲线W的方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．（5分）
（Ⅱ）设C（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），E（x₂，y₂），则D（-x₁，-y₁），则直线CD的斜率为${k_{CD}}=\frac{y_1}{x_1}$，又CE⊥CD，所以直线CE的斜率是${k_{CE}}=-\frac{x_1}{y_1}$，记$-\frac{x_1}{y_1}=k$，设直线CE的方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0，由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{3}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$得：（1+3k²）x²+6mkx+3m²-3=0．∴${x_1}+{x_2}=-\frac{6mk}{{1+3{k^2}}}$，∴${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2m=\frac{2m}{{1+3{k^2}}}$，由题意知，x₁≠x₂，
所以${k_1}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}=-\frac{1}{3k}=\frac{y_1}{{3{x_1}}}$，（9分）
所以直线DE的方程为$y+{y_1}=\frac{y_1}{{3{x_1}}}（x+{x_1}）$，令y=0，得x=2x₁，即F（2x₁，0）．
可得${k_2}=-\frac{y_1}{x_1}$．（11分）
所以${k_1}=-\frac{1}{3}{k_2}$，即$\frac{k_1}{k_2}=-\frac{1}{3}$．（12分）
（其他方法相应给分）

点评 本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．