Question

10．如图，椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{1}{2}$，其左焦点到椭圆上点的最远距离为3，点P（2，1）为椭圆外一点，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分
（1）求椭圆C的标准方程
（2）求△ABP面积最大值时的直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的几何性质可知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a+c=3，b²=a²-c²，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）由A和B在椭圆上，将A和B点坐标代入椭圆方程，利用点差法求得直线AB的斜率k_AB，设直线AB的方程，y=$-\frac{3}{2}x+m$，代入椭圆方程，根据韦达定理求得x_A+x_B，x_A•x_B，由弦长公式，点到直线的距离公式及三角形面积公式求得△ABP的面积S_△ABP，m=1-$\sqrt{7}$时，S_△ABP取最大值，即可求得直线l的方程．

解答 解：（1）由题意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
左焦点（-c，0）到椭圆上点的最远距离为3，
即使a+c=3，可解得：a=2，c=1，
b²=a²-c²=3，
∴所求椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；-------------------（4分）
（2）易得直线OP的方程：y=$\frac{1}{2}$x，
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），R（x₀，y₀）
其中y₀=$\frac{1}{2}$x₀，
∵A，B在椭圆上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{A}^{2}}{4}+\frac{{y}_{A}^{2}}{3}=1}\\{\frac{{x}_{B}^{2}}{4}+\frac{{y}_{b}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
∴k_AB=$\frac{{y}_{A}-{y}_{B}}{{x}_{A}-{x}_{B}}$=-$\frac{3{x}_{A}+{x}_{B}}{4{y}_{A}+{y}_{B}}$=-$\frac{3}{2}$------------------（6分）
设直线AB的方程为l：y=$-\frac{3}{2}x+m$（m≠0），
代入椭圆：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=-\frac{3}{2}x+m}\end{array}\right.$，整理得：3x²-3mx+m²-3=0，$由△＞0可得-2\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}且m≠0$
根据韦达定理可知：x_A+x_B=m，x_A•x_B=$\frac{{m}^{2}-3}{3}$，-----------------（8分）
∴|AB|=$\sqrt{1+{k_{AB}}^2}|{x{\;}_A-{x_B}}|=\sqrt{1+{k_{AB}}^2}\sqrt{{{（x{\;}_A+{x_B}）}^2}-4x{\;}_A{x_B}}=\sqrt{1+{k_{AB}}^2}\sqrt{4-\frac{m^2}{3}}$，
∵点P（2，1）到直线l的距离为：d=丨$\frac{-3+m-1}{\sqrt{1+{k}_{AB}^{2}}}$丨=丨$\frac{m-4}{\sqrt{1+{k}_{AB}^{2}}}$丨，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$•d•|AB|=$\frac{1}{2}$•|m-4|•$\sqrt{4-\frac{{m}^{2}}{3}}$，------------------（10分）
当m=1-$\sqrt{7}$时，S_△ABP取最大值，
此时直线l的方程y=-$\frac{3}{2}$+1-$\sqrt{7}$．------------------（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及其简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，点差法，弦长公式点到直线的距离公式及三角形面积公式的综合运用，考查计算能力，属于中档题．