Question

9．若非零不共线向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{b}$|，则下列结论正确的个数是|．（　　）
①向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角恒为锐角  ②2|$\overrightarrow{b}$|²＞$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$  ③|2$\overrightarrow{b}$|＞|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|④|2$\overrightarrow{a}$|＞|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 对于①，利用已知条件，推出向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$组成的三角形是等腰三角形，判定正误即可；对于②，利用数量积公式，结合已知条件，判断正误；对于③，通过平方以及向量的数量积判断正误；对于④，由|2$\overrightarrow{a}$|＜|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|等价于4${\overrightarrow{a}}^{2}$＜4${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$，即4|$\overrightarrow{a}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞＜|$\overrightarrow{b}$|，该式不一定成立，说明④错误．

解答 解：∵非零不共线向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{b}$|，
∴向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$组成的三角形是等腰三角形，
且向量$\overrightarrow{a}$为底边，故向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角恒为锐角，①正确；
②2|$\overrightarrow{b}$|²＞$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$等价于2|$\overrightarrow{b}$|²＞|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞，等价于2|$\overrightarrow{b}$|＞|$\overrightarrow{a}$|•cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞．
而由|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{b}$|，可得|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{b}$|＞|$\overrightarrow{a}$|＞|$\overrightarrow{a}$|•cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞，即 2|$\overrightarrow{b}$|＞|$\overrightarrow{a}$|•cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞成立，故②正确；
③|2$\overrightarrow{b}$|＞|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|等价于4${\overrightarrow{b}}^{2}$＞${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}$，等价于4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}＞{\overrightarrow{a}}^{2}$，
等价于4|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞＞${\overrightarrow{a}}^{2}$，等价于  4|$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞＞|$\overrightarrow{a}$|．
而2|$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=|$\overrightarrow{a}$|，∴4|$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞＞|$\overrightarrow{a}$|成立，故③正确．
④|2$\overrightarrow{a}$|＜|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|等价于4${\overrightarrow{a}}^{2}$＜4${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$，等价于4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜${\overrightarrow{b}}^{2}$，
等价于4|$\overrightarrow{a}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞＜|$\overrightarrow{b}$|，该式不一定成立，故④不正确．
∴正确的结论有3个．
故选：C．

点评 本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查推理论证能力与计算能力，属于中档题．