Question

20．平面直角坐标系xOy中，双曲线C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）交于点O，A，B．若△OAB的垂心为C₂的焦点，则C₁的渐近线方程为$y=±\frac{{\sqrt{5}}}{2}x$．

Answer 1

分析 由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即k_BF•k_OA=-1，由此可得C₁的渐近线方程．

解答 解：联立渐近线与抛物线方程得$A（\frac{2pb}{a}\;，\;\frac{{2p{b^2}}}{a^2}）\;，\;B（-\frac{2pb}{a}\;，\;\frac{{2p{b^2}}}{a^2}）$，抛物线焦点为$F（0\;，\;\frac{p}{2}）$，
由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即k_BF•k_OA=-1，
又${k_{BF}}=\frac{{\frac{p}{2}-\frac{{2p{b^2}}}{a^2}}}{{\frac{2pb}{a}}}=\frac{a}{4b}-\frac{b}{a}\;，\;{k_{OA}}=\frac{b}{a}$，
所以$（\frac{a}{4b}-\frac{b}{a}）\frac{b}{a}=-1⇒\frac{b^2}{a^2}=\frac{5}{4}$．
所以C₁的渐近线方程为$y=±\frac{{\sqrt{5}}}{2}x$．
故答案为：$y=±\frac{{\sqrt{5}}}{2}x$．

点评 本题考查双曲线的性质，联立方程组，根据三角形垂心的性质，得BF⊥OA是解决本题的关键，考查学生的计算能力．