Question

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，且a²+b²=ab+3，C=60°．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求a+b的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）△ABC中，由条件利用余弦定理求得 c²=a²+b²-2ab•cosC的值，从而求得的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得c²=3=（a+b）²-3ab，利用基本不等式求得a+b的最大值；再由三角形任意两边之和大于第三边可得a+b＞c=

3

，综合可得a+b的范围．

解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，∵a²+b²=ab+3，C=60°，∴c²=a²+b²-2ab•cosC=a²+b²-ab=3，∴c=

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得c²=a²+b²-ab=3=（a+b）²-3ab≥（a+b）²-3×(

a+b

2

)2，∴（a+b）²≤12，a+b≤2

3

，当且仅当a=b时，取等号．
再由三角形任意两边之和大于第三边可得a+b＞c=

3

，
故要求的a+b的范围为（

3

，2

3

]．

点评：本题主要考查余弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．