Question

设函数f（x）=lnx+x²+ax（a∈R）
（1）若函数f（x）有一个极大值和极小值点，求实数a的取值范围；
（2）已知A（x₁，f（x₁））B（x₂，f（x₂）（x₁≠x₂）是函数f（x）在x∈[1，+∞）的图象上的任意两点，且满足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞2，求a的最小值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，由条件可知2x²+ax+1=0有两个不等的正根，根据判别式大于0，和韦达定理，即可得到；
（2）因为是不等式恒成立，因此将原式转化为函数的最值问题，通过变形构造出函数φ（x）=f（x）-2x，通过研究该函数的单调性，进而转化为该函数的导数大于等于0恒成立，最终使问题获得解答．

解答： 解：（1）函数f（x）=lnx+x²+ax的导数为f′（x）=

1

x

+2x+a=

2x2+ax+1

x

（x＞0），
由于函数f（x）有一个极大值和极小值点，且大于0，
则2x²+ax+1=0有两个不等的正根，即有判别式a²-8＞0，且-

a

2

＞0，

1

2

＞0，
解得，a＜-2

2

．
则有实数a的取值范围是（-∞，-2

2

）；
（2）不妨设x₁＞x₂≥1，不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞2转化为f（x₁）-2x₁＞f（x₂）-2x₂，
令φ（x）=f（x）-2x，可知函数φ（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
故φ'（x）=f'（x）-2≥0恒成立，
故

1

x

+2x+a-2≥0恒成立，即2-a≤

1

x

+2x恒成立．
当x∈[1，+∞）时，函数y=

1

x

+2x的导数y′=2-

1

x2

＞0，即有函数y单调递增，
故当x=1时，函数y=

1

x

+2x取得最小值3，即有2-a≤3，解得，a≥-1，
则实数a的最小值为-1．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查参数分离法，以及构造函数，运用导数求最值，考查运算能力，属于中档题．