Question

已知函数f(x)=sin2x+

3

cos2x-1，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若存在x0∈[0，

7π

12

]，使不等式f（x₀）＜a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把函数解析式的前两项提取2，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

即可求出函数的最小正周期；
（Ⅱ）由x的范围求出第一问化简后函数中角度的范围，根据正弦函数的图象与性质求出此时正弦函数的最小值，得到函数f（x）的最小值，并求出此时x的值，可得出实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+

3

cos2x-1=2（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）-1
=2sin(2x+

π

3

)-1，（4分）
∵ω=2，
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；（6分）
（Ⅱ）f（x）=2sin(2x+

π

3

)-1，
当x∈[0，

7π

12

]时，2x+

π

3

∈[

π

3

，

9π

6

]，（8分）
当2x+

π

3

=

9π

6

，即x=

7π

12

时，f（x）取最小值-3，（10分）
则使题设成立的充要条件是f(

7π

12

)＜a，
此时a的取值范围是（-3，+∞）．（12分）

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及三角函数的最值，涉及的知识有：两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．