Question

若函数y=f （x）（ x∈R） 满足f （x+2）=f （x），且x∈（-1，1]时，f （x）=|x|，则log₃|x|-f （x）=0实根个数为（　　）

A．2

B．3

C．4

D．6

Answer 1

分析：令g（x）=log₃|x|，则求log₃|x|-f （x）=0实根个数，可转化为函数f （x）=|x|的图象与函数y=log₃丨x丨的图象的交点个数．

解答：解：由题意，∵f（x+2）=f（x），∴函数周期为2
令g（x）=log₃|x|，则求log₃|x|-f （x）=0实根个数，可转化为函数f （x）=|x|的图象与函数y=log₃丨x丨的图象的交点个数
由x∈（-1，1]时，f （x）=|x|，∴f （x）≤1，
∵x=1时，y=0；x=2时，y=log₃丨x丨＜1；x=3时，y=1
∴x＞0时，函数f （x）=|x|的图象与函数y=log₃丨x丨的图象的交点有2个；
由对称性得到负半轴有2个，故一共4个
故选C．

点评：本题考查方程根的个数，解题的关键是转化为图象的交点的个数，属于中档题．