Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E，F分别为棱BC，DD₁上的点，给出下列命题：
①在平面ABF内总存在与直线B₁E平行的直线；
②若B₁E⊥平面ABF，则CE与DF的长度之和为2；
③存在点F使二面角B₁-AC-F的大小为45°；
④记A₁A与平面ABF所成的角为α，BC与平面ABF所成的角为β，则α+β的大小与点F的位置无关．
其中真命题的序号是

②④

． （写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：①在平面CD₁内，过点F作FG∥CD，则ABCF四点共面，连接BG，可知直线B₁E与平面ABF总相交；
②利用B₁E⊥平面ABF，可以证明△B₁EB≌△BGC，所以CG=BE，从而可得CE与DF的长度之和为2；
③连接AC，CF，BD，B₁A，B₁C，AC∩BD=0，则FO⊥AC，B₁O⊥AC，从而∠B₁OF为二面角B₁-AC-F的平面角．由于点F在点D₁处时，∠B₁OD₁＞45°，故可得结论；
④确定AD与平面ABF所成的角为β，从而可知∠A₁AF=α，∠DAF=β，α+β=90°，故可得结论

解答：解：①在平面CD₁内，过点F作FG∥CD，则ABCF四点共面，连接BG，则BG与B₁E一定相交，即直线B₁E与平面ABF总相交，故①为假命题；
②B₁E⊥平面ABF，则B₁E⊥BG，△B₁EB≌△BGC，∴CG=BE，∵CG=DF，BE+CE=2，∴CE与DF的长度之和为2，故②为真命题；
③连接AC，CF，BD，B₁A，B₁C，AC∩BD=0，则FO⊥AC，B₁O⊥AC，∴∠B₁OF为二面角B₁-AC-F的平面角
当点F在点D₁处时，D₁O=B₁O=

6

，B₁D₁=2

2

，∴cos∠B1OD1=

6+6-8

2× 6 × 6

=

2

3

＜

2

2

，∴∠B₁OD₁＞45°
∴不存在点F使二面角B₁-AC-F的大小为45°，故③为假命题；
④∵BC∥AD，BC与平面ABF所成的角为β，∴AD与平面ABF所成的角为β
∵平面ABF⊥平面D₁A，∴∠A₁AF=α，∠DAF=β，∴α+β=90°，∴α+β的大小与点F的位置无关，故④为真命题
综上知，真命题的序号是②④
故答案为：②④

点评：本题以正方体为载体，综合考查线面、面面位置关系，考查线面角、面面角，解题时需要一一进行验证，很容易出错．