Question

已知函数f(x)＝x³－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；
(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．

Answer 1

(1)所求直线方程为y＝－2；(2) 9x＋4y－1＝0.

(1)根据导数的几何意义求曲线y＝f(x)在以P(1，－2)为切点的切线方程；
由f(x)＝x³－3x，得f′(1)＝0，又直线过点P(1，－2)，所以所求直线方程为y＝－2；
（2）首先设出过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点Q(x₀，y₀) （），利用，即，整理得x₀³－3x₀＋2＝3(x₀²－1)·(x₀－1)，解得x₀＝1(舍)或x₀＝－，所求直线的斜率为k＝3×(－1)＝－，方程为
y－(－2)＝－ (x－1)，即9x＋4y－1＝0.