Question

已知函数f（x）=ax²﹣4x+c（a，c∈R），满足f（2）=9，f（c）＜a，且函数f（x）的值域为[0，+∞）．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）设函数g（x）=（k∈R），对任意x∈[1，2]，存在x₀∈[﹣1，1]，使得g（x）＜f（x₀）求k的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）根据f(2)＝9，得4a＋c＝17

由函数f(x)的值域为[0，＋∞)知，方程ax²－4x＋c＝0，判别式△＝0，即 ac＝4，

又f(c)＜a，∴ac²－4c＋c＜a，即c＜a，

解得：a＝4，c＝1，所以f(x)＝4x²－4x＋1．                                

（Ⅱ）当x∈[－1，1]时，f(x)∈[0，9]，

对任意x∈[1，2]，存在x₀∈[－1，1]，使得g(x)＜f(x₀)，即

g(x)＝＜9，即4x²＋(k－13)x－2＜0对任意x∈[1，2]恒成立．

设h(x)＝4x²＋(k－13)x－2，则

即                              

∴k的取值范围是(－∞，6)．