Question

（本题满分12分）已知函数是奇函数（且）．

①求实数的值；

②判断在区间上的单调性，并加以证明；

③当且时，的值域是，求实数与的值．

Answer 1

①；②；当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；③.

【解析】

试题分析：本题以复合对数函数为载体，综合考查对数函数的性质，函数的单调性，函数的奇偶性，对考生数学式子变形能力要求较高.(1)由为奇函数，根据可以求出；（2）证明函数的单调性要利用定义：任意取值—作差—变形—定号下结论，在作差变形后得到的时对数式，再作差比较真数和1的大小，由于不确定，还需要分两种情况讨论函数的单调性；（3）函数的定义域为，所以，由题意，所以，又时，解得，由（2）知函数在上为减函数，要满足的值域是，需要时,，所以即.

试题解析：（1）因为是奇函数，即，

所以对定义域内的一切都成立，所以，

又当时，无意义，故

由（1）得，，任意取且，

则.

由于

因为，所以，

所以

所以当时 ，；当时，.

综上所述：当时，在上是减函数；

当时，在上是增函数

（3）由得中.又得

令，则,解得.所以.

当时,,此时在上是减函数，

所以当时,.由题意知,.

综上所述

考点：1.对数函数的性质；2.函数的单调性