Question

若不等式4^x-a•2^x+1+3＞0对任意的x∈R均成立，则实数a的取值范围是

（-∞，

3

）

．

Answer 1

分析：令t=2^x＞0，可得 t²-2at+3＞0在（0，+∞）上恒成立，即a＜

t

2

+

3

2t

，故a应小于

t

2

+

3

2t

的最小值．利用利用基本不等式可得

t

2

+

3

2t

 的最小值，可得实数a的取值范围．

解答：解：令t=2^x＞0，可得 t²-2at+3＞0在（0，+∞）上恒成立，
即 a＜

t2+3

2t

=

t

2

+

3

2t

，故a应小于

t

2

+

3

2t

的最小值．
利用基本不等式可得

t

2

+

3

2t

≥2

3 4

=

3

，当且仅当

t

2

=

3

2t

，即t=

3

时，等号成立，
故a＜

3

，即实数a的取值范围是（-∞，

3

），
故答案为 （-∞，

3

）．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化的数学思想，
属于中档题．