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    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为F1，F2，且
    F1P
    •
    F2P
    =-6    ．
    （1）求椭圆E的方程；
    （2）若M，N是直线x=5上的两个动点，且F1M⊥F2N，则以MN为直径的圆C是否过定点？请说明理由．
    分析：（1）根据题意分别写出
    F1P
    与
    F2P
    ，所以
    F1P
    •
    F2P
    =(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6    ，解得c=4，再结合椭圆的定义可得a得数值，进而得到椭圆E的方程．　　　　
    （2）设M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），则得到
    F1M
    ，
    F2N
    ，所以
    F1M
    •
    F2N
    =9+mn=0    ，即mn=-9，并且得到圆C的方程为(x-5)2+(y-
    m+n
    2
    )2=(
    |m-n|
    2
    )2    ，化简可得（x-5）2+y2-（m+n）y-9=0，令y=0，可得x=8或2，即可得到答案．
    解答：解：（1）设点F1，F2的坐标分别为（-c，0），（c，0）（c＞0），
    则
    F1P
    =(3+c，1)，
    F2P
    =(3-c，1)    ，
    故
    F1P
    •
    F2P
    =(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6    ，
    解得c=4，
    所以2a=|PF1|+|PF2|=
    		(3+4)2+12
    +
    		(3-4)2+12
    =6
    		2
    ，
    所以a=3
    		2
    ，b2=a2-c2=18-16=2    ，
    所以椭圆E的方程为
    x2
    18
    +
    y2
    2
    =1    ．　　　　　
    （2）设M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），则
    F1M
    =(9，m)，
    F2N
    =(1，n)    ，
    因为
    F1M
    ⊥
    F2N
    ，
    所以
    F1M
    •
    F2N
    =9+mn=0    ，即mn=-9，
    又因为圆C的圆心为(5，
    m+n
    2
    )    ，半径为
    |m-n|
    2
    ，
    所以圆C的方程为(x-5)2+(y-
    m+n
    2
    )2=(
    |m-n|
    2
    )2    ，
    即（x-5）2+y2-（m+n）y+mn=0，即（x-5）2+y2-（m+n）y-9=0，
    令y=0，可得x=8或2，
    所以圆C必过定点（8，0）和（2，0）．
    点评：此题是个中档题．考查椭圆的定义和标准方程的求法，以及圆与椭圆的综合等知识，同时考查了学生分析问题与解决问题的能力．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF2的周长等于8
    		2
    ，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8
    		2
    ．
    （1）求椭圆E与双曲线G的方程；
    （2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2，探求k1和k2的关系；
    （3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），以F1（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0，b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N．
    （1）若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1（0，-b）时，求此椭圆的离心率；
    （2）若直线MN的斜率为-1，且原点到直线MN的距离为4（
    		2
    -1），求此时的椭圆方程；
    （3）是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-
    		2
    2
    ，-
    		3
    3
    ）内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    3
    =1    （a＞
    		3
    ）的离心率e=
    1
    2
    ．直线x=t（t＞0）与曲线 E交于不同的两点M，N，以线段MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
     （1）求椭圆E的方程；
     （2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•佛山二模）已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的一个交点为F1(-
    		3
    ，0)    ，而且过点H(
    		3
    ，
    1
    2
    )    ．
    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +y2=1    （a＞1）的离心率e=
    		3
    2
    ，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
    （Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．

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