Question

15．求顶点在坐标原点，焦点在x轴的正半轴上，且截直线2x-y+1=0所得的弦长为$2\sqrt{10}$的抛物线的方程．

Answer 1

分析 设出抛物线的方程，直线与抛物线方程联立消去y，进而根据韦达定理求得x₁+x₂，x₁•x₂的值，利用弦长公式求得|AB|，由AB=2$\sqrt{10}$可求p，则抛物线方程可得．

解答 解：设直线与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
设抛物线的方程为y²=2px，与直线y=2x+1联立，消去y得4x²-（2p-4）x+1=0，则x₁+x₂=$\frac{p-2}{2}$，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$．
|AB|=$\sqrt{5}$|x₁-x₂|=$\sqrt{5}•\sqrt{（\frac{p-2}{2}）^{2}-1}=2\sqrt{10}$，
化简可得p²-4p-32=0，
∴p=-4，或8
∴抛物线方程为y²=-8x，或y²=16x．

点评 本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的关键是对抛物线基本性质和标准方程的熟练应用．