Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为A_n，na_n+1=A_n+$\frac{3}{2}$n（n+1），a₁=2；等比数列{b_n}的前n项和为B_n，B_n+1、B_n、B_n+2成等差数列，b₁=-2．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系可得：$\frac{{{A_{n+1}}}}{n+1}=\frac{A_n}{n}+\frac{3}{2}$，再利用等差数列的通项公式可得：A_n，再利用递推关系可得a_n．
利用等差数列与底边数列的通项公式即可得出b_n．
（2）由（1），${a_n}•{b_n}=（{3n-1}）{（{-2}）^n}$，利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵$n{a_{n+1}}={A_n}+\frac{3}{2}n（{n+1}）$，∴$n（{{A_{n+1}}-{A_n}}）={A_n}+\frac{3}{2}n（{n+1}）$，
∴$n{A_{n+1}}=（{n+1}）{A_n}+\frac{3}{2}n（{n+1}）$，
∴$\frac{{{A_{n+1}}}}{n+1}=\frac{A_n}{n}+\frac{3}{2}$，
∵a₁=2，∴$\frac{A_1}{1}=2$，
∴$\frac{A_n}{n}=2+（{n-1}）\frac{3}{2}$，∴${A_n}=\frac{{n（{3n+1}）}}{2}$，
∴n≥2时，a_n=A_n-A_n-1=3n-1；n=1时，a₁=2．
综上，a_n=3n-1，
设数列{b_n}的公比为q，∵B_n+1、B_n、B_n+2成等差数列，
∴2B_n=B_n-1+B_n+2，
即2B_n=B_n+b_n-1+B_n+b_n+1+b_n+2，∴-2b_n+1=b_n+2，∴q=-2，
∵b₁=-2，∴${b_n}={（{-2}）^n}$．
（2）由（1），${a_n}•{b_n}=（{3n-1}）{（{-2}）^n}$，
则S_n=2×（-2）+5×（-2）²+8×（-2）³+…+（3n-1）•（-2）ⁿ，
-2S_n=2×（-2）²+5×（-2）³+…+（3n-4）•（-2）ⁿ+（3n-1）•（-2）ⁿ⁺¹，
作差得：3S_n=-4+3[（-2）²+（-2）³+…+（-2）ⁿ]-（3n-1）•（-2）ⁿ⁺¹
=2+3×$\frac{-2×[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$-（3n-1）•（-2）ⁿ⁺¹，
∴${S_n}=-n{（{-2}）^{n+1}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．