Question

已知函数f(x)=2asin²x+2sinxcosx-a(a为常数)的图象过点(0,-).

(1)求函数f(x)的值域;

(2)若函数y=f(x)的图象按向量u=(m,0)作长度最短的平移后,其图象关于y轴对称,求向量u的坐标.

Answer 1

解:(1)∵函数f(x)的图象过点(0,- ),

    ∴-=2asin²0+2sin0cos0-a.

    ∴a=.

    ∴f(x)=2sin²x+2sinxcosx-

    =2×+sin2x-

    =sin2x-cos2x=2sin(2x-).

    ∵-1≤sin(2x-)≤1,

    ∴函数f(x)的值域为［-2,2］.

    (2)设函数f(x)的图象上任一点(x,y)按向量u=(m,0)平移后的坐标为(x′,y′),

    则∴

    代入y=2sin(2x-)得

    y′=2sin［2(x′-m)-］,

    即y′=2sin(2x′-2m-).

    又∵y′=2sin(2x′-2m-)的图象关于y轴对称,∴-2m-=.∴m=--(k∈Z且|k|为奇数).

    ∴要使|m|最小,则当k=-1时,m=,此时u的坐标为(,0).