Question

已知函数f(x)=

a(x-b)

(x-b)2+c

（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]²-n（mn＞0），给出下列三个命题：
①函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；
②存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；
③关于x的方程g（x）=0的解集可能为{-4，-2，0，3}．
则是真命题的有

①②

．（不选、漏选、选错均不给分）

Answer 1

分析：①由f（x+b）+f（b-x）=0即可判断①的正误；
②将f(x)=

a(x-b)

(x-b)2+c

（a≠0，b∈R，c＞0），转化为y（x-b）²-a（x-b）+cy=0有实数解，由△≥0即可判断②的正误；
③由f（x）=

a(x-b)

(x-b)2+c

（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]²-n=0（mn＞0），可判断③的正误．

解答：解：对于①，∵f（x+b）+f（b-x）=

a(x+b-b)

(x+b-b)2+c

+

a(b-x-b)

(b-x-b)2+c

=0，
∴函数f（x）的图象关于x轴上的点（b，0）成中心对称；故①正确；
对于②，∵f（x）=

a(x-b)

(x-b)2+c

（a≠0，b∈R，c＞0），
∴y（x-b）²-a（x-b）+cy=0有实数解，
∴△=a²-4cy²≥0，又a≠0，c＞0
∴y²≤

a2

4c

，
∴-

|a|

2 c

≤y≤

|a|

2 c

．即存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；
∴②正确；
③∵f（x）=

a(x-b)

(x-b)2+c

（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]²-n=0（mn＞0），
∴

a2(x-b)2

[(x-b)2+c]2

=

n

m

（mn＞0），假设g（x）=0有四个根，令t=（x-b）²（t≥0），则x=b±

t

，
∴x₁+x₂=2b，同理x₃+x₄=2b，
∴其解集{-4，-2，0，3}中-4+3≠-2+0，即x₁+x₂≠x₃+x₄=2b，
∴③错误．
故正确答案为：①②．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的中心对称问题及二次函数的性质，方程的解等问题，综合性强，难度大，属于难题．