Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n．数列{b_n}中，b₁=1，bn=abn-1（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若存在常数t使数列{b_n+t}是等比数列，求数列{b_n}的通项公式；
（3）求证：①b_n+1＞2b_n；②

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜2-

1

bn

．

Answer 1

（1）n=1时，a₁=S₁=3，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-（n-1）²-2（n-1）=2n+1，
且n=1时也适合此式，故数列{a_n}的通项公式是a_n=2n+1；
（2）依题意，n≥2时，bn=abn-1=2bn-1+1，
∴b_n+1=2（b_n-1+1），又b₁+1=2，
∴{b_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
即存在常数t=2使数列{b_n+t}是等比数列b_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，即b_n=2ⁿ-1．
（3）①b_n+1-2b_n=（2ⁿ⁺¹-1）-2（2ⁿ-1）=1＞0所以b_n+1＞2b_n对一切自然数n都成立．
②由b_n+1＞2b_n得

1

bn+1

＜

1

2bn

，设S=

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

++

1

bn

，
则S＜

1

b1

+

1

2b1

+

1

2b2

+…+

1

2bn-1

=

1

b1

+

1

2

(S-

1

2bn

)，所以S＜

2

b1

-

1

bn

=2-

1

bn

．