Question

已知a＞0，设p：函数y=a^x在R上单调递减；q：不等式x+|x-2a|＞1的解集为R．如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求命题P，命题q为真命题时a的范围，再根据复合命题真值表分析求解．

解答：解：对于命题p：函数y=a^x在R上单调递减⇒0＜a＜1．
对于命题q：不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，
即函数y=x+|x-2a|在R上恒大于1，
又y=

2x-2a，x≥2a 2a，x＜2a

，
∴y_min=2a＞1
即a＞

1

2

．
由p∨q为真，p∧q为假，根据复合命题真值表知p、q中一真一假．

如果p真q假，0＜a≤

1

2

；
如果p假q真，a≥1；
综上所述，a的取值范围为(0，

1

2

]∪[1，+∞)．

点评：本题考查复合命题的真假判断及不等式恒成立问题．利用复合命题真值表．