Question

【题目】设命题p：m∈{x|x2+（a﹣8）x﹣8a≤0}，命题q：方程 =1表示焦点在x轴上的双曲线．
（1）若当a=1时，命题p∧q假命题，p∨q”为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1时，x2+（a﹣8）x﹣8a≤0，

即x2﹣7x﹣8≤0，解得：﹣1≤x≤8，

故p：﹣1≤m≤8，

若方程 =1表示焦点在x轴上的双曲线，

则 ，解得：m＞5

故q：m＞5；

若命题p∧q假命题，p∨q”为真命题，

则p，q一真一假，

故 或 ，

解得：m∈[﹣1，5]∪（8，+∞）

（2）解：命题p：m∈{x|x2+（a﹣8）x﹣8a≤0}={x|（x﹣8）（x+a）≤0}，

﹣a＜8即a＞﹣8时，p：[﹣a，8]，

﹣a＞8，即a＜﹣8时，p：[8，﹣a]，

q：m＞5，

若命题p是命题q的充分不必要条件，

即[﹣a，8]（5，+∞），或[8，﹣a]（5，+∞），

故﹣a＞5，解得：a＜﹣5

【解析】（1）分别求出p，q为真时的m的范围，根据p，q一真一假，得到关于m的不等式组，解出即可；（2）通过讨论a的范围，得到关于m的不等式组，解出即可．
【考点精析】掌握复合命题的真假是解答本题的根本，需要知道“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．