Question

已知f(x)=2cos(2x+

π

3

)+4

3

sinxcosx+1．
（Ⅰ）若f（x）的定义域为[

π

12

，

π

2

]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对边，当f（A）=2，b+c=2时，求a的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的余弦公式和正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的图象和性质，即可得到所求值域；
（Ⅱ）运用余弦定理，和基本不等式，以及正弦函数的性质，即可求得最小值a．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2(cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

)+2

3

sin2x+1=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1，
当x∈[

π

12

，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
则f（x）的值域为[0，3]．
（Ⅱ）f（A）=2，即2sin（2A+

π

6

）+1=2，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
即有2A+

π

6

=

5π

6

，解得，A=

π

3

，
再由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=4-3bc，
由于b+c=2≥2

bc

，即有bc≤1，则a²≥4-3=1，
当且仅当b=c=1，取得最小值1．
故a的最小值为1．

点评：本题考查三角函数的化简和求值域，考查余弦定理的运用，以及基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．