Question

已知f（x）=

lnx

x

在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减（e为自然常数），若不等式x³-2ex²+mx-lnx≥0在（0，+∞）恒成立，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：把不等式变形后分离参数m，然后利用函数f（x）=

lnx

x

的单调性及二次函数的最值求得函数-x2+2ex+

lnx

x

的最大值，则答案可求．

解答： 解：由x³-2ex²+mx-lnx≥0在（0，+∞）恒成立，
得mx≥-x³+2ex²+lnx在（0，+∞）恒成立，
即m≥-x2+2ex+

lnx

x

在（0，+∞）恒成立，
令函数g（x）=-x²+2ex，t（x）=

lnx

x

，
当x=e时函数g（x）有最大值，同时t（x）取得最大值，
则当x=e时，函数函数-x2+2ex+

lnx

x

有最大值为-e2+2e2+

lne

e

=e2+

1

e

．
∴m≥e．
∴m的取值范围是[e，+∞）．
故答案为：[e，+∞）．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了分离变量法求参数的取值范围，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．