Question

某集团为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t（100万元）可增加销售额约为-t²+5t（100万元）（0≤t≤3）．
（1）若该集团将当年的广告费控制在300万元以内，则应投入多少广告费，才能使集团由广告费而产生的收益最大？
（2）现在该集团准备投入300万元，分别用于广告促销和技术改造．经预算，每投入技术改造费x（100万元），可增加的销售额约为-

1

3

x³+x²+3x（100万元）．请设计一个资金分配方案，使该集团由这两项共同产生的收益最大．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设投入广告费t（100万元）后由此增加的收益为f（t）（100万元），列出函数的关系式，利用二次函数的最值求解即可．
（2）设用于技术改造的资金为100x万元，则用于广告的费用为100（3-x）万元，写出这两项所增加的收益表达式，通过导数判断函数的极值点，求出函数的最值．

解答： 解：（1）设投入广告费t（100万元）后由此增加的收益为f（t）（100万元），
则f（t）=（-t²+5t）-t=-t²+4t=-（t-2）²+4（0≤t≤3），
∴当t=2时，f（t）_max=4．
即集团投入200万元广告费，才能使由广告费而产生的收益最大．-----------（6分）
（2）设用于技术改造的资金为100x万元，则用于广告的费用为100（3-x）万元，则由这两项所增加的收益为
g（x）=（-

1

3

x³+x²+3x）+[-（3-x）²+5（3-x）]-3=-

1

3

x³+4x+3（0≤t≤3）．
对g（x）求导，得g′（x）=-x²+4，令g′（x）=-x²+4=0，得x=2或x=-2（舍去）．
当0≤x＜2时，g′（x）＞0，即g（x）在[0，2）上单调递增；
当2＜x≤3时，g′（x）＜0，即g（x）在（2，3]上单调递减．
∴当x=2时，g（x）_max=g（2）=

25

3

．
故在300万元资金中，200万元用于技术改造，100万元用于广告促销，使集团由此所产生的收益最大，最大收益为

2500

3

万元．-----------12分

点评：本题考查函数在实际问题中的应用，二次函数的最值，以及利用导数求解函数的最值的方法，考查转化思想的应用．