【题目】已知抛物线的方程
为抛物线
上一点,
为抛物线的焦点.
(I)求;
(II)设直线与抛物线
有唯一公共点
,且与直线
相交于点
,试问,在坐标平面内是否存在点
,使得以
为直径的圆恒过点
?若存在,求出点
的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(I);(II)存在,
.
【解析】
试题分析:(I)借助题设条件运用抛物线的定义求解;(II)借助题设运用直线与抛物线的位置关系及向量的数量积探求.
试题解析:
(I)由题可知,即
,由抛物线的定义可知
............4分
(II)法1:由关于
轴对称可知,若存在点
,使得以
为直径的圆恒过点
,则点
必在
轴上,设
,又设点
,由直线
与曲线
有唯一公共点
知,直线
与
相切由
得
.
,
直线
的方程为
,
令得
,
点坐标为
,
,
点
在以
为直径的圆上,
要使方程恒成立,必须有,解得
.
在坐标平面内存在点
,使得以
为直径的圆恒过点
,其坐标为
..................12分
法2:设点,由
与曲线
有唯一公共点
知,直线
与
相切,
由得
.
直线
的方程为
,
令得
,
点坐标为
,
以
为直径的圆的方程为:
①
分别令和
,由点
在曲线
上得
,
将的值分别代入①得:
②
③
②③联立得或
.
在坐标平面内若存在点
,使得以
为直径的圆恒过点
,则点
必为
或
,将
的坐标代入①式得,
左边==右边,
将的坐标代入①式得,左边=
不恒等于0,
在坐标平面内若存在点
,使得以
为直径的圆恒过点
,则点
的坐标为
.........12分
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)若函数在
处取得极值,求实数
的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,函数 (其中
为函数
的导数)的图像关于直线
对称,求函数
单调区间;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若对任意的,都有
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】下列正确命题有__________.
①“”是“
”的充分不必要条件
②如果命题“”为假命题,则
中至多有一个为真命题
③设,若
,则
的最小值为
④函数在
上存在
,使
,则a的取值范围
或
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列,
,其前
项和
满足
,其中
.
(1)设,证明:数列
是等差数列;
(2)设,
为数列
的前
项和,求证:
;
(3)设(
为非零整数,
),试确定
的值,使得对任意
,都有
成立.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数相邻两对称轴间的距离为
,若将
的图像先向左平移
个单位,再向下平移1个单位,所得的函数
为奇函数.
(1)求的解析式,并求
的对称中心;
(2)若关于的方程
在区间
上有两个不相等的实根,求实数
的取值范围.
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【题目】为了让学生了解环保知识,增强环保意识,某中学举行了一次“环保知识竞赛”,共有900名学生参加了这次竞赛.为了了解这次竞赛的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计,请你根据尚未完成的频率分布表和频率分布直方图,回答下面问题:
(1)结合图表信息,补全频率分布直方图;
(2)对于参加这次竞赛的900名学生,估计成绩不低于76分的约有多少人.
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【题目】为了研究某种微生物的生长规律,需要了解环境温度(
)对该微生物的活性指标
的影响,某实验小组设计了一组实验,并得到如表的实验数据:
环境温度 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
活性指标 |
(Ⅰ)由表中数据判断关于
的关系较符合
还是
,并求
关于
的回归方程(
,
取整数);
(Ⅱ)根据(Ⅰ)中的结果分析:若要求该种微生物的活性指标不能低于,则环境温度应不得高于多少
?
附:,
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】我国古代数学名著《续古摘奇算法》(杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题:将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入的方格中,使得每一行,每一列及对角线上的三个数的和都相等,我们规定:只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的数字不全相同,就称为不同的幻方,那么所有不同的三阶幻方的个数是( )
8 | 3 | 4 |
1 | 5 | 9 |
6 | 7 | 2 |
A. 9 B. 8 C. 6 D. 4
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