【题目】已知函数.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)讨论函数的单调区间.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)先求出函数的导函数,则
就是切线斜率,根据点斜式可得切线方程;(2) 讨论
两种情况,分别令
得增区间,
得减区间.
试题解析:(1)∵,
∴,
,
∴在点
处的切线方程为
;
(2)∵,
∴,
,
令,解得
,
由已知, ,
①当时,
,
的解集是
,
的解集是
或
,
∴的单调增区间是
,单调减区间是
;
②当时,
,
的解集是
的解集是
,
∴的单调增区间是
,单调减区间是
.
综上所述,当时,
的单调增区间是
,单调减区间是
;
当时,
的单调增区间是
,单调减区间是
.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性,属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是:(1)求出在
处的导数,即
在点
出的切线斜率(当曲线
在
处的切线与
轴平行时,在 处导数不存在,切线方程为
);(2)由点斜式求得切线方程
.
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【题目】下列说法错误的是( )
A. 在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高
B. 在线性回归分析中,回归直线不一定过样本点的中心
C. 在回归分析中, 为0.98的模型比
为0.80的模型拟合的效果好
D. 自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
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【题目】经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 (升)与速度
(千米/每小时)
的关系可近似表示为:
.
(Ⅰ)该型号汽车速度为多少时,可使得每小时耗油量最低?
(Ⅱ)已知两地相距120公里,假定该型号汽车匀速从
地驶向
地,则汽车速度为多少时总耗油量最少?
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【题目】如图,已知焦点在轴上的椭圆
的中心是原点
,离心率为
,以椭圆
的端州的两端点和两焦点所围成的四边形的周长为8,直线
:
与
轴交于点
,与椭圆
交于不同两点
,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,求
的取值范围.
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【题目】已知函数,其中
,且函数
的最小正周期为
。
(1)若函数在
处取到最小值
,求函数
的解析式;
(2)若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍(纵坐标不变),再将向左平移
个单位,得到的函数图象关于
轴对称,求函数
的单调递增区间。
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【题目】某中学从高三男生中随机抽取100名学生,将他们的身高数据进行整理,得到下侧的频率分布表
(Ⅰ)求出频率分布表中①和②位置上相应的数据;
(Ⅱ)为了能对学生的体能做进一步了解,该校决定在第3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取6 名学生进行体能测试,求第3,4,5 组每组各应抽取多少名学生进行测试;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定在6 名学生中随机抽取2 名学生进行引体向上测试,求第4 组中至少有一名学生被抽中的概率.
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【题目】已知抛物线的方程
为抛物线
上一点,
为抛物线的焦点.
(I)求;
(II)设直线与抛物线
有唯一公共点
,且与直线
相交于点
,试问,在坐标平面内是否存在点
,使得以
为直径的圆恒过点
?若存在,求出点
的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:,
,…,
,并整理得到如下频率分布直方图:
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间内的人数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等,试估计总体中男生和女生人数的比例.
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