Question

已知函数f（x）=x³-3ax²-9a²x（a≠0）．
（1）当a=l时，解不等式f（x）＞0；
（2）若方程f（x）=12lnx-6ax-9a²-a在[1，2]恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围（注：ln2≈0.69）：
（3）当a＞0时，若f（x）在[0，2]的最大值为h（a），求h（a）的表达式．

Answer 1

分析：（1）当a=l时，不等式f（x）＞0即x³-3x²-9x＞0，将左边因式分解，并利用一元二次不等式的解法结合分类讨论，可得不等式f（x）＞0的解集；
（2）对f（x）求导数，将方程f'（x）=12lnx-6ax-9a²-a化简整理，得a=12lnx-3x²，再通过构造函数m（x）=12lnx-3x²，讨论y=m（x）在[1，2]上的单调性，求得函数y=m（x）的极大值并比较区间端点的值，可得满足条件的a的取值范围；
（3）因为a＞0且f'（x）=3x²-6ax-9a²=3（x+a）（x-3a），得（0，3a）上是减函数，（3a，+∞）上是增函数．因此当3a≥2时，f（x）在[0，2]上是减函数，最大值h（a）=f（0）；当3a＜2时，f（x）在[0，3a）上是减函数，在（3a，2]上是增函数，比较f（2）与f（0）的大小可得最大值的表达式．最后综合以上所述，即可得到f（x）在[0，2]的最大值h（a）的表达式．

解答：解（1）当a=l时，不等式f（x）＞0即x³-3x²-9x＞0，
化简得x（x²-3x-9）＞0，
∴

x＜0 x2-3x-9＜0

或

x＞0 x2-3x-9＞0

，
解之得

3-3 5

2

＜x＜0或x＞

3+3 5

2

所以当a=l时，解不等式f（x）＞0的解集为（

3-3 5

2

，0）∪（

3+3 5

2

，+∞）．…（2分）
（2）∵函数f（x）=x³-3ax²-9a²x的导数为：f'（x）=3x²-6ax-9a²，
∴方程f'（x）=12lnx-6ax-9a²-a整理得a=12lnx-3x²，令m（x）=12lnx-3x²，则
m'（x）=

12

x

-6x=

6(2-x2)

x

，（x∈[1，2]）．…（4分）
当x∈[1，

2

）时，m'（x）＞0；当x∈（

2

，2]时，m'（x）＜0，
∴函数y=m（x）在区间[1，

2

）上是增函数，在（

2

，2]上是减函数…（6分）
又∵m（1）=-3，m（2）=12（ln2-1）＜-3，m（

2

）=6（ln2-1）
∴当x∈[1，2]时，方程f'（x）=12lnx-6ax-9a²-a恰好有两个相异的实根实数
的a的取值范围为[-3，6（ln2-1））．…（8分）
（3）函数f（x）=x³-3ax²-9a²x的导数为：f'（x）=3x²-6ax-9a²=3（x+a）（x-3a）
∵a＞0，∴当x∈（0，3a）时，f'（x）＜0；当x∈（3a，+∞）时，f'（x）＞0
∴函数在（0，+∞）上的单调性是：（0，3a）上是减函数，（3a，+∞）上是增函数．
∈（0，3a）时当3a≥2时，即a≥

2

3

时，f（x）在[0，2]上是减函数，最大值h（a）=f（0）=0
当3a＜2时，即0＜a＜

2

3

时，f（x）在[0，3a）上是减函数，在（3a，2]上是增函数
∵f（2）=8-12a-18a²，当0＜a＜

5 -1

3

时f（2）＞f（0），

5 -1

3

≤a＜

2

3

时f（2）≤f（0），
∴当0＜a＜

5 -1

3

时，f（x）最大值h（a）=f（2）=8-12a-18a²；
当

5 -1

3

≤a＜

2

3

时，f（x）最大值h（a）=f（0）=0
综上所述，当a＞0时，f（x）在[0，2]的最大值h（a）的表达式为：
h（x）=

0       (a≥ 5 -1 3 ) -18a2-12a+8       (0＜a＜ 5 -1 3 )

．

点评：本题给出三次多项式函数，讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最大值，着重考查了运用导数研究函数的单调性和含参数不等式的解法等知识，属于中档题．