Question

已知O为坐标原点，

OA

=(2cos2x，1)，

OB

=(1，

3

sin2x+a)（x∈R，a∈R，a是常数），若y=

OA

•

OB

且y=f（x）的最大值为2．
（1）求a的值
（2）求f（x）图象的对称轴方程．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求y=

OA

•

OB

=2sin（2x+

π

6

）+a+1，由y_max=2即可求得a；
（2）由a=-1可知f（x）=2sin（2x+

π

6

），利用正弦型函数的性质即可求其对称轴方程．

解答：解：（1）∵y=

OA

•

OB

=2cos²x+

3

sin2x+a
=1+cos2x+

3

sin2x+a
=2sin（2x+

π

6

）+a+1，
∴y_max=2+a+1，
又y=f（x）的最大值为2，
∴a+1=0，
∴a=-1．
（2）∵a=-1，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），
由2x+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），
∴x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
∴f（x）图象的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．

点评：本题考查数量积的坐标运算，考查三角函数中的恒等变换应用，求得f（x）=2sin（2x+

π

6

）是关键，考查运算与转化能力，属于中档题．