【题目】已知函数.
(1)求函数的单调增区间;
(2)函数,当
时,
恒成立,求整数
的最小值.
【答案】(1)单调增区间是;单调减区间是
(2)2
【解析】
(1)利用的导函数
求得
的单调增区间.
(2)解法一:将不等式分离常数
,得到
,构造函数
,利用导数求得
的最大值,由此求得
的取值范围,进而求得
的最小值.
解法二:将不等式分离常数
,得到
,构造函数
,对
分成
、
两种情况进行分类讨论,由此求得
的取值范围.
(1)因为,
由于时,由
得
,
所以函数的单调增区间是
;单调减区间是
;
(2)解法一:因为,即
,因为
,
所以,令
,
所以,
设,
则,
所以且
时,
,
故在
上是增函数,
因为,
当时,
.
所以存在使
,
所以当时,
即
,
当时,
即
,
所以在
上增函数,
上是减函数,
故有最大值为
,
因为,
,所以
,
故,即整数
的最小值为2.
解法二:因为,即
,因为
,
所以,令
,
(i)当时,因为
,所以
,
因此,所以只需
;
(ii)当时,因为
,则
,
所以,
因此只需,即
,
构造函数,
,
当时,
在
上单调递减,
;
当时,
,
则,不满足题意;
当时,
,
则,故不满足题意;
综上可知,整数的最小值为2.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况,对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计,并根据得到的数据绘制了相应的折线图,如图所示
(1)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合月利润(单位:百万元)与月份代码
之间的关系,求
关于
的线性回归方程,并预测该公司2019年3月份的利润;
(2)甲公司新研制了一款产品,需要采购一批新型材料,现有,
两种型号的新型材料可供选择,按规定每种新型材料最多可使用
个月,但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同,现对
,
两种型号的新型材料对应的产品各
件进行科学模拟测试,得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表:
使用寿命 材料类型 |
|
|
|
| 总计 |
如果你是甲公司的负责人,你会选择采购哪款新型材料?
参考数据:,
.参考公式:回归直线方程为
,其中
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,曲线
的普通方程为
,直线
的参数方程为
(
为参数),其中
.以坐标
为极点,以
轴非负半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程和直线
的普通方程;
(2)设点,
的极坐标方程为
,直线
与
的交点分别为
,
.当
为等腰直角三角形时,求直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】记无穷数列的前n项
,
,…,
的最大项为
,第n项之后的各项
,
,…的最小项为
,
.
(1)若数列的通项公式为
,写出
,
,
;
(2)若数列的通项公式为
,判断
是否为等差数列,若是,求出公差;若不是,请说明理由;
(3)若数列为公差大于零的等差数列,求证:
是等差数列.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,点
在椭圆
上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设为原点,过原点的直线(不与
轴垂直)与椭圆
交于
、
两点,直线
、
与
轴分别交于点
、
.问:
轴上是否存在定点
,使得
?若存在,求点
的坐标;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知正方体的棱长为2,点
分别是棱
的中点,则二面角
的余弦值为_________;若动点
在正方形
(包括边界)内运动,且
平面
,则线段
的长度范围是_________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2019年世界读书日,陈老师给全班同学开了一份书单,推荐同学们阅读,并在2020年世界读书日时交流读书心得.经了解,甲、乙两同学阅读书单中的书本有如下信息:
①甲同学还剩的书本未阅读;
②乙同学还剩5本未阅读;
③有的书本甲、乙两同学都没阅读.
则甲、乙两同学已阅读的相同的书本有( )
A.2本B.4本C.6本D.8本
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】图1是由边长为4的正六边形,矩形
,组成的一个平面图形,将其沿
,
折起得几何体
,使得
,且平面
平面
,如图2.
(1)证明:图2中,平面平面
;
(2)设点M为图2中线段上一点,且
,若直线
平面
,求图2中的直线
与平面
所成角的正弦值
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