Question

16．若数列{a_n}与{b_n}满足${b_{n+1}}{a_n}+{b_n}{a_{n+1}}={（{-1}）^n}+1，{b_n}=\frac{{3+{{（{-1}）}^{n-1}}}}{2}，n∈{N^*}$，且a₁=2，设数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₆₃=（　　）

• A． 560
• B． 527
• C． 2015
• D． 630

Answer 1

分析 数列{a_n}与{b_n}满足${b_{n+1}}{a_n}+{b_n}{a_{n+1}}={（{-1}）^n}+1，{b_n}=\frac{{3+{{（{-1}）}^{n-1}}}}{2}，n∈{N^*}$，且a₁=2，可得$\frac{3+（-1）^{n}}{2}$a_n+$\frac{3+（-1）^{n-1}}{2}$a_n+1=（-1）ⁿ+1，a₂=-1．n=2k（k∈N^*）时，化为：2a_2k+a_2k+1=2；n=2k-1（k∈N^*）时，化为：a_2k-1+2a_2k=0．可得a_2k+1-a_2k-1=2，a_2k+2-a_2k=-1．再利用等差数列的定义通项公式与求和公式即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}与{b_n}满足${b_{n+1}}{a_n}+{b_n}{a_{n+1}}={（{-1}）^n}+1，{b_n}=\frac{{3+{{（{-1}）}^{n-1}}}}{2}，n∈{N^*}$，且a₁=2，
∴$\frac{3+（-1）^{n}}{2}$a_n+$\frac{3+（-1）^{n-1}}{2}$a_n+1=（-1）ⁿ+1，a₂=-1．
n=2k（k∈N^*）时，化为：2a_2k+a_2k+1=2；
n=2k-1（k∈N^*）时，化为：a_2k-1+2a_2k=0．
∴a_2k+1-a_2k-1=2，a_2k+2-a_2k=-1．
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差分别为2，-1，首项分别为2，-1．
∴S₆₃=（a₁+a₃+…+a₆₃）+（a₂+a₄+…+a₆₂）
=32×2+$\frac{32×31}{2}$×2+31×（-1）+$\frac{31×30}{2}$×（-1）
=560．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．