Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$彼此不共线，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两所成的角相等，若|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=1，|$\overrightarrow{c}$|=3，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=$\frac{\sqrt{30}}{2}$．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两所成的角均为120°，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）^{2}}$，由此能求出结果．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$彼此不共线，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两所成的角相等，
|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=1，|$\overrightarrow{c}$|=3，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）^{2}}$
=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+2|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|cos120°+2|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{c}|cos120°+2|\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{c}|cos120°}$
=$\sqrt{1+1+9-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}}$
=$\frac{\sqrt{30}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{30}}{2}$．

点评 本题考查向量和的模的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量的性质的合理运用．