Question

13．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，$\frac{S_n}{n}={a_n}-n+1$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设log₃b_n=log₃a_n+a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：S_n=na_n-n（n-1），当n≥2时，S_n-1=（n-1），a_n-1-（n-1）（n-2），由a_n=S_n-S_n-1，整理得：a_n-a_n-1=2，数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，由等差数列通项公式即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知：a_n=log₃a_n-log₃b_n=log₃$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，求得$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=${3}^{{a}_{n}}$，b_n=$\frac{1}{3}$•（2n-1）•9ⁿ，利用“错位相减法”即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由题意可知：$\frac{S_n}{n}={a_n}-n+1$，S_n=na_n-n（n-1），
当n≥2时，S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2），
a_n=S_n-S_n-1=na_n-n（n-1）-（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2），
=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），
∴（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=2（n-1），
∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1；
（2）log₃b_n=log₃a_n+a_n，
∴a_n=log₃a_n-log₃b_n=log₃$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=${3}^{{a}_{n}}$，
∴b_n=a_n•${3}^{{a}_{n}}$=（2n-1）•3^2n-1=$\frac{1}{3}$•（2n-1）•9ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=$\frac{1}{3}$[9+3×9²+5×9³+…+（2n-1）9ⁿ]，
∴9T_n=$\frac{1}{3}$[9²+3×9³+5×9⁴+…+（2n-3）9ⁿ+（2n-1）9ⁿ⁺¹]，
∴-8T_n=$\frac{1}{3}$[9+2（9²+9³+9⁴+…+（9ⁿ）-（2n-1）9ⁿ⁺¹]，
=$\frac{1}{3}$[2×$\frac{9×（1-{9}^{n}）}{9-1}$-9-（2n-1）•9ⁿ⁺¹]，
=$\frac{5-8n}{12}$×9ⁿ⁺¹-$\frac{15}{4}$，
∴T_n=$\frac{8n-5}{96}$9ⁿ⁺¹+$\frac{15}{32}$，
数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=$\frac{8n-5}{96}$9ⁿ⁺¹+$\frac{15}{32}$．

点评 本题考查数列的递推公式求数列的通项公式，考查等差数列的通项公式，“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．