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已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,AC1与平面A1BD,CB1D1交于E,F两点.给出以下命题,其中真命题有______(写出所有正确命题的序号)
①点E,F为线段AC1的两个三等分点;
ED1
=-
2
3
DC
+
1
3
AD
+
1
3
AA1

③设A1D1中点为M,CD的中点为N,则直线MN与面A1DB有一个交点;
④E为△A1BD的内心;
⑤若∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°,且AA1=AB=AD=1,则三棱锥A1-ABD为正三棱锥,且|AC1|=
6

①连接A1C1,AC,A1C,A1E,由平行六面体的性质得:四边形A1ACC1是平行四边形,对角线互相平分且交于点O,延长A1E交AC于H,且H为AC的中点,则E为三角形A1AC的重心,有AE=2OE,同理C1F=2OF,
所以点E,F为线段AC1的两个三等分点,故①对;
②∵
ED1
=
A1D1
-
A1E
=
AD
-
2
3
A1H
=
AD
-
1
3
(
A1A
+
A1C
)
=
AD
-
2
3
A1A
-
1
3
A1B1
-
1
3
AD

=
2
3
AD
+
2
3
AA1
-
1
3
DC
,故②错;
③再取A1B1的中点K,连接KM,KN,由面面平行的判定定理可得:面KMN面A1BD,所以直线MN面A1BD,
所以直线MN与面A1DB没有交点,故③错;
④由①得A1E=2EH,所以E为△A1BD的重心,故④错;
⑤因为∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°,且AA1=AB=AD=1,所以三角形A1BD为等边三角形,即
三棱锥A1-ABD为正三棱锥,∵
AC1
=
AA1
+
AB
+
AD
,|
AC1
|=
(
AA1
+
AB
+
AD
)2

=
1+1+1+2×
1
2
+2×
1
2
+2×
1
2
=
6
,故⑤对.
故答案为:①⑤
练习册系列答案
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下列命题中正确的命题是______.(填序号)
①直线l上有两点到平面α距离相等,则lα;
②平面α内不在同一直线上三点到平面β的距离相等,则αβ;
③垂直于同一直线的两个平面平行;
④平行于同一直线的两个平面平行;
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若a,b∈R,则以下命题为真的是(  )
A.若a>b,则
1
a
1
b
B.若a>|b|,则
1
a
1
b
C.若a>b,则a2>b2D.若a>|b|,则a2>b2

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给出下列命题:
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3a
3b
>0”的逆否命题;
④“若m>1,则mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R”的逆命题.
其中真命题的序号为______.

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