Question

【题目】已知曲线C 的参数方程为 （α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）设l1：θ= ，l2：θ= ，若l 1、l2与曲线C 相交于异于原点的两点 A、B，求△AOB的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为 （α为参数），利用sin2α+cos2α=1， ， =y﹣1，可得：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．
∴曲线C的普通方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．
将 代入并化简得：ρ=4cosθ+2sinθ
即曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ．
（Ⅱ）解法一：在极坐标系中，C：ρ=4cosθ+2sinθ

∴由 得到 ；
同理 ．
又∵
∴ ．
即△AOB的面积为 ．
解法二：在平面直角坐标系中，C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5
l1：θ= ，l2：θ= ，可得 ，
∴由 得
∴
同理
∴ ，
又∵
∴
即△AOB的面积为 ．
【解析】（Ⅰ）将C参数方程化为普通方程，利用 代入，可得曲线C 的极坐标方程．（Ⅱ）法一：利用参数的几何意义，求|OB|，|OA|，∠AOB=60°，即可求△AOB的面积，法二：在平面直角坐标系中，根据l1：θ= ，l2：θ= ，求出方程与圆C求解交点A和B，|OB|，|OA|，∠AOB=60°，即可求△AOB的面积，