Question

在平面直角坐标系中，已知向量（），，动点的轨迹为T．

（1）求轨迹T的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；

（2）当时，已知、，试探究是否存在这样的点： 是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）轨迹方程为：

当时，方程表示两条与x轴平行的直线；

当时，方程表示以原点为圆心，4为半径的圆；

当且时，方程表示椭圆；

当时，方程表示双曲线.

（2）满足条件的点存在，共有6个，它们的坐标分别为：

解析:

（1）∵ ∴

得 即------------------------------------2分

当时，方程表示两条与x轴平行的直线；(答方程表示两条直线不扣分)----------------------------3分

当时，方程表示以原点为圆心，4为半径的圆；(答方程表示圆不扣分)-----------------------4分

当且时，方程表示椭圆；-------------------------------------5分

当时，方程表示双曲线.-------------------------------------------6分

（2）由（1）知，当时，轨迹T的方程为：.

连结OE，易知轨迹T上有两个点A，B满足,

分别过A、B作直线OE的两条平行线、.

∵同底等高的两个三角形的面积相等

∴符合条件的点均在直线、上. --------------------------------7分

∵   ∴直线、的方程分别为：、--------8分

设点 （ ）∵在轨迹T内，∴-----------------------9分

分别解与  得与

∵∴为偶数，在上，对应的

在上，对应的-----------------------13分

∴满足条件的点存在，共有6个，它们的坐标分别为：

．------------------------------------------14分