【题目】已知集合为平面内的一个有限点集, 为平面内的一个正三角形,集合,且.若对任意满足条件的集合S,均可以被正三角形的两个平移图形覆盖,证明:集合可以被正三角形的两个平移图形覆盖.
【答案】见解析
【解析】
先证明两个引理
引理1 若两个三角形、正同位相似,且三角形与三角形的三条边所在的直线相交,则三角形位于三角形之中此命题显然成立
引理2 对任何有限点集和任何三角形,均可以找到一个与三角形正同位相似的三角形,使得三角形包含点集,且在三角形的每条边上均有点集中的点
引理2的证明
显然存在包含点集且与三角形正同位相似的三角形,考虑其中的一个.若在其某条边上没有点集中的点,则通过作以边所对顶点为中心的位似变换将其缩小,使得该边与点集相交,并且缩小后的三角形仍然包含点集,对各条边均如此操作,即可得到所需的三角形.
引理2得证
综合两个引理,知三角形的任何包含点集M的同位相似图形一定包含三角形.
将引理2运用于点集和正三角形,得到一个三角形,不妨称之为.在边上分别有点集X中的点,其中,有些点可能重合
若的大小不超过三角形,则题中结论成立.否则,考虑、、,其中, 是以A为中心所作的的位似图形,其大小与三角形相同,其余两个三角形的定义类似.因而,它们均为三角形的平移图形.
再考虑点集X的如下子集:
,
,
.
再证明一个引理
引理3若三角形的某个平移图形包含点,则图形就不可能与相交.对于其余情形也有类似的结论
引理3的证明
假设命题不真,于是,三角形与各条边的直线相交.从而,它包含.而三角形与是全等的三角形,故它们重合.因此,由的定义知三角形不可能与之相交.
引理3得证
对三角形T和集合,运用引理2得到三角形、三角形、三角形,且在它们的边上可找到分别属于集合的点(可能有些点相互重合).
由题意,知点集
可被三角形T的某两个平移图形所覆盖故必有一个平移图形至少盖住中的两个点,不妨设.
据引理3,知三角形不可能与集合X相交.从而,点均含于另一个三角形中.再由引理1,知集合被包含于三角形之中,这表明,集合X被和三角形所覆盖.
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【题目】已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(1)求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程;
(2)射线OP:(其中)与C2交于P点,射线OQ:与C2交于Q点,求的值.
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【题目】某环线地铁按内、外线同时运行,内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异),新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时,现内、外环线共有18列列车全部投入运行,其中内环投入列列车.
(1)写出内、外环线乘客的最长候车时间(分钟)分别关于的函数解析式;
(2)要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟,问内、外环线应各投入几列列车运行?
(3)要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小,问内、外环线应各投入几列列车运行?
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【题目】毕业季有位好友欲合影留念,现排成一排,如果:
(1)、两人不排在一起,有几种排法?
(2)、两人必须排在一起,有几种排法?
(3)不在排头,不在排尾,有几种排法?
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【题目】已知函数且.
(Ⅰ) 若1是关于x的方程的一个解,求t的值;
(Ⅱ) 当且时,解不等式;
(Ⅲ)若函数在区间(-1,2]上有零点,求t的取值范围.
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【题目】现有一段长度为的木棍,希望将其锯成尽可能多的小段,要求每一小段的长度都是整数,并且任何一个时刻,当前最长的一段都严格小于当前最短的一段长度的2倍,记对符合条件时的最多小段数为,则( )。
A. B. C. D.
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【题目】2018年8月8日是我国第十个全民健身日,其主题是:新时代全民健身动起来。某市为了解全民健身情况,随机从某小区居民中抽取了40人,将他们的年龄分成7段:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图。
(1)试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值;
(2)(i)若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡,求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率;
(ⅱ)已知该小区年龄在[10,80]内的总人数为2000,若18岁以上(含18岁)为成年人,试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数。
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