Question

已知函数f（x）=x²-ax+2b的一个零点在（0，1）内，另一个零点在（1，2）内，则2a+3b的取值范围是

（2，9）

．

Answer 1

分析：由题意知，函数f（x）=x²-ax+2b的一个零点在（0，1）内，另一个零点在（1，2）内，得关于a，b的不等式，再利用线性规划的方法求出2a+3b的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=x²-ax+2b的一个零点在（0，1）内，另一个零点在（1，2）内，
∴

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0 - b 2a ＞0

，
∴a＞0，b＞0，1-a+2b＜0…①，4-2a+2b＞0••②，可得a-2b＞1，a-b＜2⇒0＜b＜1…③，0＜a＜3…④
由①②③④画出可行域：
目标：z=2a+3b，

z=2a+3b在可行域A（1，0）点取最小值：z_min=2×1=2；
z=2a+3b在可行域B（3，1）点取最大值：z_max=2×3+3=9；
∴2a+3b的取值范围是（2，9），
故答案为（2，9）．

点评：线性规划的介入，为研究函数的最值或最优解提供了新的方法，借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．