Question

10．设AB，CD是过抛物线y²=8x-2焦点F的两条弦，AB、CD的倾角分别为α、2α，且|$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{CD}$|，求|$\overrightarrow{AB}$|，|$\overrightarrow{CD}$|的值．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点F，设出直线AB的参数方程，代入抛物线方程，由韦达定理和参数的几何意义，可得弦长AB，同理可得弦长CD，结合条件，运用二倍角公式和同角公式，计算可得AB，CD的长．

解答 解：抛物线y²=8x-2，
即为y²=8（x-$\frac{1}{4}$），
焦点F（$\frac{9}{4}$，0），
设弦AB所在的直线方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{4}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
代入抛物线方程得t²sin²α-8tcosα-16=0，
t₁+t₂=$\frac{8cosα}{si{n}^{2}α}$，t₁t₂=-$\frac{16}{si{n}^{2}α}$，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（\frac{8cosα}{si{n}^{2}α}）^{2}+\frac{64}{si{n}^{2}α}}$=$\frac{8}{si{n}^{2}α}$，
同理可得|CD|=$\frac{8}{si{n}^{2}2α}$，
∵|AB|=2|CD|，
即为$\frac{1}{si{n}^{2}α}$=$\frac{2}{4si{n}^{2}αco{s}^{2}α}$，
∴cos²α=$\frac{1}{2}$，sin²α=$\frac{1}{2}$，
∴sin²2α=4sin²αcos²α=1，
∴|AB|=16，|CD|=8．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查直线的参数方程的运用，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，属于中档题．