Question

（12分）已知抛物线：过点.（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于（为坐标原点）的直线，使得直线与抛物线有公共点，且直线与的
距离等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）. （2）符合题意的直线存在，其方程为.

试题分析：（1）将点（1，-2）代入抛物线方程可求出p值，从而得到抛物线的方程，进而得到其准线方程.
(2) 假设存在符合题意的直线，其方程为,由于直线l与抛物线C有公共点，所以它与抛物线方程联立消去x后得到关于y的一元二次方程的判断式,从而解得.
然后再利用平行线间的距离公式得到t的方程求出t值，看是否满足t的范围，从而确定是否存在这样的直线.
（1）将代入，得，故所求的抛物线的标准方程为.
其准线方程为.  ………  4分
（2）假设存在符合题意的直线，其方程为.由，得.
因为直线与抛物线有公共点，所以，解得.另一方面，由直线与的距
可得，解得.又因为，，所以符合题意的直线存在，其方程为
.…12分
点评：直线与抛物线的位置关系的判定可由它们的方程联立消去一个变量后得到另一个变量的二次方程，再通过判别式进行判断即可.但要注意二次项系数是否为零的问题.